高二数理化选讲

M4 导数与单调性、极值

常见参考：人教 A 版选择性必修第二册（课标对多项式限定到不超过三次） · 本地状态：未读

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一、核心概念

导数符号与单调性：在某个可导区间 (a,b) 上，如果 f′(x)>0，那么函数 f(x) 在该区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数在该区间内单调递减。

极值点判定：对于可导函数，f′(x0)=0 是函数在 x0 处取得极值的必要条件，不是充分条件（经典反例：y=x3 在 x=0 处导数为 0，但两侧导数均非负，x=0 不是极值点）。还需检验导数在 x0 左右两侧是否变号。

课标范围提示：课标明确指出，利用导数研究多项式函数的单调性与极值时，多项式次数一般不超过三次。

二、公式、条件与单位

单调性与极值判定条件
f′>0⇒ 递增；f′<0⇒ 递减

适用条件：需在函数定义域内的可导区间上考察；在闭区间 [a,b] 上求最大值与最小值时，除了比较区间内各极值，还必须比较端点函数值 f(a) 与 f(b)。

三、常见易错点

做题前先查这几条条件
  • 认为只要解出 f′(x0)=0 就一定是极值点，未按“左正右负取极大、左负右正取极小”检验变号（忽视 y=x3 类驻点）。
  • 求闭区间最值时只算极值而漏算区间端点处的函数值。
  • 写单调区间时，把两个不连续的同单调区间错误地用“∪”并集符号连接（应写“和”或逗号隔开）。

四、本节自测（先作答，再看解析）

本节自测尚未作答。请先独立计算并选择答案，提交后可核对解析。

求函数 f(x)=x3-3x 的单调区间与极值。