高二数理化选讲

M3 导数的概念与运算

常见参考：人教 A 版选择性必修第二册 · 本地状态：未读

跳到本节自测

一、核心概念

瞬时变化率与导数：当自变量的改变量 Δx 趋近于 0 时，如果平均变化率 f(x0+Δx)-f(x0)Δx 的极限存在，就把这个极限值称作函数 y=f(x) 在 x0 处的导数。

几何意义：函数在 x0 处的导数 f′(x0)，就是曲线 y=f(x) 在点 (x0,f(x0)) 处切线的斜率。

可导与连续的关系：可导必连续，但连续不必可导（例如 y=|x| 在 x=0 处连续，但图像呈尖角，左右斜率分别为 -1 和 +1，不可导）。

二、公式、条件与单位

导数定义式
f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx

适用条件：该极限必须存在（即左极限与右极限均存在且相等），才称函数在该点可导。

简单复合函数求导（课标范围）
[f(ax+b)]′=af′(ax+b)

课标范围提示：普通高中课程标准对复合函数求导限定于形如 f(ax+b) 的简单复合函数（其中 a,b 为常数，f 在相应点可导），不要求套用大学一般抽象链式法则展开。

曲线在某点处的切线方程
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)

适用条件：f 在 x0 处可导，且点 (x0,f(x0)) 是曲线上的切点。

三、常见易错点

做题前先查这几条条件
  • 误以为“函数在某点连续就一定在该点可导”。
  • 对 f(ax+b) 求导时忘记乘以外层系数 a。
  • 审题时混淆“曲线在点 P 处的切线”（P 即切点）与“过点 P 的切线”（P 未必是切点，须另设切点坐标）。

四、本节自测（先作答，再看解析）

本节自测尚未作答。请先独立计算并选择答案，提交后可核对解析。

求函数 y=x2 在 x=1 处的导数及曲线在该点处的切线方程。