M1 等差数列

常见参考：人教 A 版选择性必修第二册（高二上或高二下，进度因校而异） · 本地状态：未读

一、核心概念

数列的概念：数列是按确定顺序排列的一列数，可以把它看作定义域为正整数集 $N^{*}$ （或它的有限子集 ${1, 2, \dots, n}$ ）的特殊函数，函数值随序号 $n$ 离散变化。

等差数列定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作公差，通常用字母 $d$ 表示。

通项公式

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

适用条件： $n$ 为正整数（ $n \in N^{*}$ ）， $d$ 为常数；推广形式 $a_{n} = a_{m} + (n - m) d$ 。

前 n 项和公式

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = \frac{n [2 a_{1} + (n - 1) d]}{2}

适用条件： $n$ 为正整数。即使 $d = 0$ （常数列），这两个求和公式仍然成立，此时 $S_{n} = n a_{1}$ 。

由前 n 项和求通项的分段关系

a_{1} = S_{1}, a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n \geq 2)

适用条件：对任意数列均成立；写出通项后必须检验第 1 项是否也符合后面的表达式，不合则写成分段函数。

做题前先查这几条条件

把通项错写成 $a_{n} = a_{1} + n d$ （第 1 项到第 $n$ 项之间只有 $n - 1$ 个公差间隔）。
已知 $S_{n}$ 求通项时，忘记 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 只在 $n \geq 2$ 时成立，忘记单独核对 $a_{1} = S_{1}$ 。

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