M5 空间向量的数量积、夹角与距离

常见参考：人教 A 版选择性必修第一册 · 本地状态：未读

一、核心概念

空间向量数量积：已知两个非零向量 $a, b$ ，它们的夹角记为 $θ \in [0, π]$ 。必须注意：零向量不谈夹角（虽规定零向量与任意向量的数量积为 0，但不定义夹角）。

空间角转化为向量角：线线角范围为 $(0, \frac{π}{2}]$ （平行记 0），线面角范围为 $[0, \frac{π}{2}]$ ，二面角范围为 $[0, π]$ 。不能直接把两个向量的夹角直接当成几何角，必须结合各自几何定义判断取余弦绝对值还是互补角。

空间向量数量积与坐标表示

a \cdot b = | a | | b | \cos θ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

适用条件：求夹角 $\cos θ = \frac{a \cdot b}{| a | | b |}$ 时，要求 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$ 。

点到平面的距离公式

d = \frac{| \vec{A P} \cdot n |}{| n |}

适用条件：点 $A$ 为平面内任意已知点， $P$ 为平面外一点， $n$ 为该平面的非零法向量（ $n \neq 0$ ）。

做题前先查这几条条件

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